Una teselación es una forma de descomponer el espacio en piezas más pequeñas de forma que se satisfagan las tres condiciones siguientes:

• a) las piezas no deben dejar huecos

• b) no se deben encimar

• c) al rededor de cualquier punto del espacio hay una cantidad finita de piezas.

Las piezas más pequeñas se llaman mosaicos, ¿te suena esa palabra? ¿de dónde la conoces? Seguro de los pisos de algunas plazas, en las paredes de los baños, en los panales de abejas.

¿qué teselaciones tienes a tu alrededor?

Para hablar de teselaciones en el plano, diremos que hay dos tipos de polígonos: los regulares, que tienen todos sus lados de igual magnitud así como sus ángulos interiores; y los irregulares, donde no todos sus lados son iguales.

Las teselaciones regulares son formadas por un sólo tipo de polígono regular y sólo hay tres de éstas: una formada con triángulos equiláteros, otra con cuadrados y la tercera con hexágonos. También hay teselaciones semirregulares, son aquellas que están formadas por dos o más polígonos regulares. El teselado en la imagen del Kiosko Teselado del Palacio Topkapi es un ejemplo de teselación semirregular.

También existen las teselaciones irregulares que son las formadas por polígonos no regulares, satisfaciendo las mismas tres condiciones mencionadas arriba. Estas teselaciones han permitido que artistas de diferentes épocas hayan creado mosaicos y dibujos impresionantes: como los mosaicos de los palacios de la Alhambra, los dibujos de Maurits Cornelis Escher.

Siguiendo con las teselaciones irregulares, a principios del siglo XX, el matemático ruso Gregory Voronoi encontró otra forma de dividir el plano en regiones que se definen a partir de un conjunto de puntos, al conjunto se le llama el conjunto de generadores.

La región asociada a cada punto consiste de todos los puntos cuya distancia a es menor que la distancia a con .

Cada celda se obtiene de la intersección de semi-planos, quedando regiones convexas.

En la siguiente imagen, los puntos azules son los con los que se generará la teselación; los polígonos irregulares que contienen a cada uno de esos puntos, son las regiones .

En la naturaleza aparecen diagramas de este estilo, por ejemplo en patrones de grietas en la arena debido a contracción por enfriamiento o sequía.

Las teselaciones de Voronoi, también llamadas partición o descomposición de Voronoi, ayudan a simular y estudiar muchos problemas en diversas áreas del conocimiento, como en astronomía, ayudan a identificar cúmulos de estrellas y de galaxias; en geografía se usan para analizar patrones de asentamientos urbanos; en ecología para modelar y analizar las competencias en las plantas y muchas más aplicaciones de las que te puedes enterar en este enlace.

Para terminar, un consejo: si un día te encuentras en Londres, puedes llevar este mapa contigo por si necesitas saber cual es la estación de metro más cercana a ti.